Differenciálegyenletek megoldása Monte Carlo módszerrel

Supervisor:
Dr. Vaitkus Márton
Subject:
Project Laboratory 1 - Biomedical engineering, MSc Bio.
Project Laboratory 2 - Biomedical engineering, MSc Bio.
Project Laboratory 1 - Control and vision systems, MSc Elec.
Project Laboratory 1 - Visual informatics, MSc IT.
Project Laboratory 2 - Control and vision systems, MSc Elec.
Project Laboratory 2 - Visual informatics, MSc IT.
Project Laboratory - Software development study specialization, BSc IT.
Project Laboratory - Control systems study specialization, BSc Elec.
Students count:
1
Continue:
Szakdolgozat / Diplomaterv
PhD
TDK dolgozat
Description:


A mérnöki tudományokban és a grafikában is gyakran szükséges differenciálegyenletek közelítő megoldása egy tartomány felett: pl. valamilyen mennyiség (pl. hőmérséklet, vagy RGB szín) legegyenletesebb eloszlását a térben az ún. Laplace-egyenlet megoldásával számíthatjuk ki. A klasszikus numerikus módszerek (pl. végeselem-módszer) használatához diszkrét elemekre kell bontani a tartományt (pl. háromszögekkel), ami a gyakorlatban számos nehézséggel jár. 


Egy alternatív megközelítés [1] a sugárkövetés-alapú képszintézisben széles körben használt Monte Carlo módszert [2] általánosítja az ilyen problémák megoldására. Az egyes pontokból véletlen irányokban sétákat indítunk a tartomány határáig, és a határon adott értékeket megfelelően átlagoljuk. A tartomány határa bármilyen reprezentációban adott lehet, amitől távolságot tudunk becsülni: pontfelhő, mesh, vagy akár implicit távolságmező. A módszer előnye, hogy nem igényli a térfogat mesterséges elemekre bontását, a megoldás pontossága tetszés szerint hangolható és az algoritmus párhuzamosítása magától értetődő. A módszer implementációja is igen egyszerű.


A hallgató feladatai:

  1. Tanulmányozza az [1] cikket és a kapcsolódó előadásokat.
  2. Készítsen programot, ami képes Laplace egyenletek megoldására Monte Carlo módszerrel 2D és 3D tartományok felett.
  3. Vizsgálja meg az algoritmus GPU-alapú implementációjának lehetőségeit. [3]
Ajánlott irodalom:

[1] Shawney, R., Crane, K.: Monte Carlo Geometry Processing. ACM Transactions on Graphics, Vol. 39(4), 2020.
[2] Szirmay-Kalos, L.: Globális illuminációs módszerek (előadási jegyzet). http://cg.iit.bme.hu/portal/oktatott-targyak/szamitogepes-grafika-es-kepfeldolgozas/globalis-illuminacios-modszerek